martes, 2 de mayo de 2017

Características generales de la placa

Se trata de una placa open hardware por lo que su diseño es de libre distribución y utilización, que incluso podemos construirnos nosotros mismos (En la Figura 1 se observa el aspecto de la placa). En la siguiente web puede encontrarse mucha información relativa a la placa:

Figura 1. Aspecto de la placa Arduino Duemilanove.
El programa se implementará haciendo uso del entorno de programación propio de arduino y se transferirá empleando un cable USB. Si bien en el caso de la placa USB no es preciso utilizar una fuente de alimentación externa, ya que el propio cable USB la proporciona, para la realización de algunos de los experimentos prácticos sí que será necesario disponer de una fuente de alimentación externa ya que la alimentación proporcionada por el USB puede no ser suficiente. El voltaje de la fuente puede estar entre 6 y 25 Voltios.




Entorno de desarrollo

Para programar la placa es necesario descargarse de la página web de Arduino el entorno de desarrollo (IDE). Se dispone de versiones para Windows y para MAC, así como las fuentes para compilarlas en LINUX. En la Figura 2 se muestra el aspecto del entorno de programación. En el caso de disponer de una placa USB es necesario instalar los drivers FTDI. Estos drivers vienen incluidos en el paquete de Arduino mencionado anteriormente. Existen en la web versiones para distintos sistemas operativos.
Figura 2. Entorno de desarrollo.
Lo primero que tenemos que hacer para comenzar a trabajar con el entorno de desarrollo de arduino es configurar las comunicaciones entre la placa Arduino y el PC. Para ello deberemos abrir en el menú "Tools" la opción "Serial Port". En esta opción deberemos seleccionar el puerto serie al que está conectada nuestra placa. En Windows, si desconocemos el puerto al que está conectado nuestra placa podemos descubrirlo a través del Administrador de dispositivos (Puertos COM & LPT/ USB Serial Port).
El primer paso para comprobar que todo lo que hemos hecho hasta ahora está bien y familiarizarnos con el interfaz de desarrollo, es abrir uno de los ejemplos. Se recomienda abrir el ejemplo "Blink". Para ello debemos acceder a través del menú File ( Sketchbook ( Examples ( Digital ( Blink.
El ejemplo "Blink" lo único que hace es parpadear un LED que está colocado en el pin número 13 de la placa. Vamos a ver qué hay que hacer para subir el programa a la placa Arduino. Primero comprobamos que el código fuente es el correcto. Para ello pulsamos el botón de verificación de código que tiene forma de triángulo inclinado 90 grados (Figura 3.a). Si todo va bien deberá aparecer un mensaje en la parte inferior de la interfaz indicando "Done compiling". Una vez que el código ha sido verificado procederemos a cargarlo en la placa. Para ello tenemos que pulsar el botón de reset de la placa (Figura 3.b) e inmediatamente después pulsar el botón que comienza la carga (Figura 3.c).
Durante la carga del programa, en la placa USB, se encenderán los LED que indican que se están enviando y recibiendo información por el puerto serie: TX/RX. Si todo se ha realizado correctamente debe aparecer el mensaje "Done uploading". Ahora tan sólo queda esperar unos 8 segundos aproximadamente para comprobar que todo ha salido bien. Si el led colocado en el pin 13 de la placa se enciende y se apaga cada segundo entonces todo ha ido bien. Por fin tenemos todo listo para empezar a trabajar con la placa Arduino.
Figura 3. a) Compilar programa. b) Botón de reset. c) Transferir programa a la placa.




Estructura básica de un programa

La estructura básica de programación de Arduino es bastante simple y divide la ejecución en dos partes: setup y loop. Setup() constituye la preparación del programa y loop() es la ejecución. En la función Setup() se incluye la declaración de variables y se trata de la primera función que se ejecuta en el programa. Esta función se ejecuta una única vez y es empleada para configurar el pinMode (p. ej. si un determinado pin digital es de entrada o salida) e inicializar la comunicación serie. La función loop() incluye el código a ser ejecutado continuamente (leyendo las entradas de la placa, salidas, etc.).
 
void setup() { 
   inMode(pin, OUTPUT);  // Establece 'pin' como salida 
} 
void loop() {
   digitalWrite(pin, HIGH); // Activa 'pin'
   delay(1000);   // Pausa un segundo 
   digitalWrite(pin, LOW);  // Desactiva 'pin'
   delay(1000);
} 
 
Como se observa en este bloque de código cada instrucción acaba con ; y los comentarios se indican con //. Al igual que en C se pueden introducir bloques de comentarios con /* ... */.



Funciones

 
Una función es un bloque de código identificado por un nombre y que es ejecutado cuando la función es llamada. La declaración de una función incluye en primer lugar el tipo de datos que devuelve la función (e.j. int si lo que devuelve es un valor entero). Después del tipo de datos se especifica el nombre de la funció<bookmark>OLE_LINK1</bookmark>int delayVal() { 
   int v;   // crea una variable temporal 'v' 
   v = analogRead(pot);  // lee el valor del potenciómetro 
   v /= 4;   // convierte los valores 0-1023 a 0-255 
   return v;   // devuelve el valor final de la variable 
} 
 



Variables

Una variable debe ser declarada y opcionalmente asignada a un determinado valor. En la declaración de la variable se indica el tipo de datos que almacenará (int, float, long)
 
int inputVariable = 0; 
 
Una variable puede ser declarada en el inicio del programa antes de setup(), localmente a una determinada función e incluso dentro de un bloque como pueda ser un bucle. El sitio en el que la variable es declarada determina el ámbito de la misma. Una variable global es aquella que puede ser empleada en cualquier función del programa. Estas variables deben ser declaradas al inicio del programa (antes de la función setup()).
 
int v;    // 'v' es visible en todo el programa
void setup() { 
   // no se requiere setup 
} 
void loop() { 
   for (int i=0; i<20;) // 'i' es visible solo en el bucle
   i++; 
   float f; // 'f' es visible únicamente en la función loop()
}



Tipos de datos

Arduino permite manejar los siguientes tipos de datos:
  • Byte. Almacena un valor numérico de 8 bits. Tienen un rango de 0-255.
  • Int. Almacena un valor entero de 16 bits con un rango de 32,767 a -32,768.
  • Long. Valor entero almacenado en 32 bits con un rango de 2,147,483,647 a -2,147,483,648.
  • Float. Tipo coma flotante almacenado en 32 bits con un rango de 3.4028235E+38 a -3.4028235E+38.
  • Arrays Se trata de una colección de valores que pueden ser accedidos con un número de índice (el primer valor del índice es 0). Ejemplos de utilización:
    • Definición y asignación. int myArray[] = {value0, value1, value2...}
    • Definición. int myArray[5]; // declara un array de 6 enteros
    • Asignación del cuarto componente. myArray[3] = 10;
    • Recuperar el cuarto componente y asignarlo a x. x = myArray[3];

Tipos de datos

Arduino permite manejar los siguientes tipos de datos:
  • Byte. Almacena un valor numérico de 8 bits. Tienen un rango de 0-255.
  • Int. Almacena un valor entero de 16 bits con un rango de 32,767 a -32,768.
  • Long. Valor entero almacenado en 32 bits con un rango de 2,147,483,647 a -2,147,483,648.
  • Float. Tipo coma flotante almacenado en 32 bits con un rango de 3.4028235E+38 a -3.4028235E+38.
  • Arrays Se trata de una colección de valores que pueden ser accedidos con un número de índice (el primer valor del índice es 0). Ejemplos de utilización:
    • Definición y asignación. int myArray[] = {value0, value1, value2...}
    • Definición. int myArray[5]; // declara un array de 6 enteros
    • Asignación del cuarto componente. myArray[3] = 10;
    • Recuperar el cuarto componente y asignarlo a x. x = myArray[3];

Operadores aritméticos

 
Empleando variables, valores constantes o componentes de un array pueden realizarse operaciones aritméticas y se puede utilizar el operador cast para conversión de tipos. Ej. int a = (int)3.5; Además pueden hacerse las siguientes asignaciones:
 x ++. Lo mismo que x = x + 1.
 x --. Lo mismo que x = x - 1, or decrements x by -1.
 x += y. Lo mismo que x = x + y, or increments x by +y.
 x -= y. Lo mismo que x = x - y .
 x *= y. Lo mismo que x = x * y. 
 x /= y. Lo mismo que x = x / y. 
Para su utilización en sentencias condicionales u otras funciones Arduino permite utilizar los siguientes operadores de comparación:
 x == y. x es igual a y.
 x != y. x no es igual a y.
 x < y, x > y, x <= y, x >= y. 
Y los siguientes operadores lógicos:
 Y lógico:  if (x > 0 &#38;&#38; x < 5). Cierto si las dos expresiones lo son.
 O lógico:  if (x > 0 || y > 0). Cierto si alguna expresión lo es.
 NO lógico: if (!x > 0). Cierto si la expresión es falsa. 
El lenguaje de Arduino presenta las siguientes constantes predefinidas:
 TRUE / FALSE.
HIGH/LOW. Estas constantes definen los niveles de los pines como HIGH o LOW y son empleados cuando se leen o escriben en las entradas o salidas digitales. HIGH se define como el nivel lógico 1 (ON) o 5 V. LOW es el nivel lógico 0, OFF, o 0 V.
INPUT/OUTPUT. Constantes empleadas con la función pinMode() para definir el tipo de un pin digital usado como entrada INPUT o salida OUTPUT. Ej. pinMode(13, OUTPUT); 
 



Sentencias condicionales

El lenguaje de arduino permite realizar sentencias condicionales if, if... else, for, while, do... while. Su utilización es similar a las funciones correspondientes en C.

Entradas y salidas digitales y analógicas

9.1. Función pinMode(pin, mode)
Función usada en la function setup() para configurar un pin dado para comportarse como INPUT o OUTPUT. Ej. pinMode(pin, OUTPUT); configura el pin número 'pin' como de salida. Los pines de Arduino funcionan por defecto como entradas, de forma que no necesitan declararse explícitamente como entradas empleando pinMode().
9.2. Función digitalRead(pin)
Lee el valor desde un pin digital específico. Devuelve un valor HIGH o LOW. El pin puede ser especificado con una variable o una constante (0-13). Ej. v = digitalRead(Pin);
9.3. Funcion digitalWrite(pin, value)
Introduce un nivel alto (HIGH) o bajo (LOW) en el pin digital especificado. De nuevo, el pin puede ser especificado con una variable o una constante 0-13. Ej. digitalWrite(pin, HIGH);
9.4. Función analogRead(pin)
Lee el valor desde el pin analógico especificado con una resolución de 10 bits. Esta función solo funciona en los pines analógicos (0-5). El valor resultante es un entero de 0 a 1023. Los pines analógicos, a diferencia de los digitales no necesitan declararse previamente como INPUT o OUTPUT.
9.5. Función analogWrite(pin, value)
Escribe un valor pseudo-analógico usando modulación por ancho de pulso (PWM) en un pin de salida marcado como PWM. Esta función está activa para los pines 3, 5, 6, 9, 10, 11. Ej analogWrite(pin, v); // escribe 'v' en el 'pin' analógico. Puede especificarse un valor de 0 - 255. Un valor 0 genera 0 V en el pin especificado y 255 genera 5 V. Para valores de 0 a 255, el pin alterna rápidamente entre 0 V y 5 V, cuanto mayor sea el valor, más a menudo el pin se encuentra en HIGH (5 V). Por ejemplo, un valor de 64 será 0 V tres cuartas partes del tiempo y 5 V una cuarta parte. Un valor de 128 será 0 V la mitad del tiempo y 5 V la otra mitad. Un valor de 192 será 0 V una cuarta parte del tiempo y 5 V tres cuartas partes.

Funciones de tiempo y matemáticas

  • delay(ms). Realiza una pausa en el programa la cantidad de tiempo en milisegundos especificada en el parámetro (máximo 1000, mínimo 1).
  • millis(). Devuelve la cantidad de milisegundos que lleva la placa Arduino ejecutando el programa actual como un valor long unsigned. Después de de 9 horas el contador vuelve a 0.
  • min(x,y). max(x,y). Devuelve el mínimo y el máximo respectivamente de entre sus parámetros.

Funciones de generación aleatoria

  • randomSeed(seed). Especifica un valor o semilla como el punto de inicio para la función random(). Este parámetro debe ser realmente aleatorio y para ello puede emplearse la función millis() o incluso analogRead() para leer ruido eléctrico desde una entrada analógica.
  • random(max), random(min, max). Esta función devuelve un valor aleatorio entre el rango especificado.

Puerto serie

  • Serial.begin(rate). Abre un Puerto serie y especifica la velocidad de transmisión. La velocidad típica para comunicación con el ordenador es de 9600 aunque se pueden soportar otras velocidades.
  • Serial.println(data). Imprime datos al puerto serie seguido por un retorno de línea automático. Este comando tiene la misma forma que Serial.print() pero este último sin el salto de línea al final. Este comando puede emplearse para realizar la depuración de programas. Para ello puede mandarse mensajes de depuración y valores de variables por el puerto serie. Posteriormente, desde el entorno de programación de Arduino, activando el "Serial Monitor" se puede observar el contenido del puerto serie, y, por lo tanto, los mensajes de depuración. Para observar correctamente el contenido del puerto serie se debe tener en cuenta que el "Serial Monitor" y el puerto serie han de estar configurados a la misma velocidad (Para configurar la velocidad del puerto serie se hará con el comando Serial.begin(rate)).
  • Serial.read().Lee o captura un byte (un caracter) desde el puerto serie. Devuelve -1 si no hay ningún carácter en el puerto serie.
  • Serial.available(). Devuelve el número de caracteres disponibles para leer desde el puerto serie.

Ejemplos de código

Salida digital
En este ejemplo el LED conectado al pin 13 parpadea cada segundo.
 
int ledPin = 13;   // LED que se encuentra en el pin 13
   void setup(){ 
   pinMode(ledPin, OUTPUT); // El p1n 13 será una salida digital 
} 
void loop(){ 
   digitalWrite(ledPin, HIGH); // Enciende el LED
   delay(1000);     // Pausa de 1 segundo 
   digitalWrite(ledPin, LOW);  // Apaga el LED 
   delay(1000);    // Pausa de 1 segundo 
} 
 
Salida digital II
En este ejemplo el LED conectado al pin 13 parpadea en un intervalo de tiempo variable que depende del número de veces que se ejecuta el programa (función loop)
 
int ledPin = 13; // LED que se encuentra en el pin 13
int n = 0;   //Entero que contará el paso por la función loop
void setup(){ 
   pinMode(ledPin, OUTPUT); // El p1n 13 será una salida digital 
} 
void loop(){ 
   digitalWrite(ledPin, HIGH); // Enciende el LED
   delay(1000);     // Pausa de 1 segundo 
   digitalWrite(ledPin, LOW);  // Apaga el LED 
   n++;     //Incrementamos n
   delay(delayVal(n));   //Pausa de un tiempo variable
}
 
//Función que devuelve un valor tipo entero según el parámetro pasado
 
int delayVal(int f){
   return f*100;
}
 
Entrada digital
Este ejemplo lee el valor de un interruptor conectado en el pin 2. Cuando el interruptor está cerrado en el pin de entrada habrá un estado alto (HIGH) y se encenderá el LED.
 
int ledPin = 13;  // Pin de salida para el LED 
int inPin = 2; // Pin de entrada (donde está conectado el interruptor) 
void setup() { 
   pinMode(ledPin, OUTPUT); 
   pinMode(inPin, INPUT); 
} 
void loop() { 
   if (digitalRead(inPin) == HIGH){ // Si se activa interruptor
      digitalWrite(ledPin, HIGH); // Enciende el LED 
      delay(1000);    // Pause de 1 segundo 
      digitalWrite(ledPin, LOW);  // Apaga el LED 
      delay(1000);    // Pausa de 1 segundo 
   } 
}
 
Salida PWM
Modulación por ancho de pulso (PWM) puede emplearse, por ejemplo, para establecer el brillo de un led o controlar un servomotor. En el siguiente ejemplo se va aumentando y decrementando el brillo del pin 9 mediante PWM.
 
int ledPin = 9;     // Pin controlado por PWM 
void setup(){} 
void loop() { 
   for (int i=0; i<=255; i++){ 
      analogWrite(ledPin, i);  // Establece el brillo a i 
      delay(100);     // Pausa de 100 ms 
   } 
   for (int i=255; i>=0; i--) { 
      analogWrite(ledPin, i); 
      delay(100); 
   } 
}
 
Entrada a partir de un potenciómetro
En el siguiente código se emplea arduino para controlar la frecuencia de parpadeo de un LED.
 
int potPin = 0;   // Pin de entrada para el potenciómetro 
int ledPin = 13;   // Pin de salida para el LED
void setup() { 
   pinMode(ledPin, OUTPUT);  // Declara el pin del LED como de salida
} 
void loop() { 
   digitalWrite(ledPin, HIGH); // Enciende el LED 
   delay(analogRead(potPin));  // Lee el valor del potenciómetro 
   digitalWrite(ledPin, LOW);  // Apaga el LED 
   delay(analogRead(potPin));   
} 
 
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martes, 21 de marzo de 2017



ESQUEMA DEL ARDUINO UNOResultado de imagen para esquema del arduino uno



PARTES DEL ARDUINO

Existen múltiples variantes del Arduino. En este caso, usaremos el Arduino UNO que es el más común.
Potencia - USB (1) / Conector de Adaptador (2)
Cada placa Arduino necesita una forma de estar alimentado electricamente. Esta puede ser alimentado desde un cable USB que viene de su ordenador o un cable de corriente eléctrica con su respectivo adaptador. La conexión USB es también cómo va a cargar código en su placa Arduino.
NO utilice una fuente de alimentación superior a 20 voltios, ya que se puede dañar la placa Arduino. La tensión recomendada para la mayoría de los modelos de Arduino es de entre 6 y 12 voltios.
Pines (5V, 3.3V, GND, Analog, Digital, PWM, AREF)
Los pines en la placa Arduino es donde se conectan los cables de un circuito. El Arduino tiene varios tipos diferentes de entradas, cada uno de las cuales está marcado en el tablero y utilizan para diferentes funciones:
• GND (3): Abreviatura de "tierra" (en Ingles). Hay varios pines GND en el Arduino, cualquiera de los cuales pueden ser utilizados para conectar a tierra el circuito.
• 5V (4) y 3.3V (5): Son los suministros pin 5V 5 voltios de energía, y los suministros de pin 3.3V 3.3 voltios de potencia.
• Analógico (6): El área de pines en el marco del 'analógica' etiqueta (A0 a A5) son analógicas. Estos pines pueden leer la señal de un sensor analógico (como un sensor de temperatura) y convertirlo en un valor digital que podemos leer.
• Digital (7): Son los pines digitales (del 0 al 13). Estos pines se pueden utilizar tanto para la entrada digital (como decir, si se oprime un botón) y salida digital (como encender un LED).
• PWM (8): Usted puede haber notado la tilde (~) al lado de algunos de los pines digitales (3, 5, 6, 9, 10 y 11). Estos pines actúan como pines digitales normales, pero también se pueden usar para algo llamado Modulación por ancho de pulsos (PWM, por sus siglas en Ingles).
• AREF (9): Soportes de referencia analógica. La mayoría de las veces se puede dejar este pin solo. A veces se utiliza para establecer una tensión de referencia externa (entre 0 y 5 voltios) como el límite superior para los pines de entrada analógica.
Botón de reinicio (10)
Empujando este botón se conectará temporalmente el pin de reset a tierra y reinicie cualquier código que se carga en el Arduino. Esto puede ser muy útil si el código no se repite, pero quiere probarlo varias veces.
Indicador LED de alimentación (11)
Este LED debe encenderse cada vez que conecte la placa Arduino a una toma eléctrica. Si esta luz no se enciende, hay una buena probabilidad de que algo anda mal.
LEDs RX TX (12)
TX es la abreviatura de transmisión, RX es la abreviatura de recibir. Estas marcas aparecen un poco en la electrónica para indicar los pasadores responsables de la comunicación en serie. En nuestro caso, hay dos lugares en la Arduino UNO donde aparecen TX y RX - una vez por pines digitales 0 y 1, y por segunda vez junto a los indicadores LED de TX y RX (12). Estos LEDs nos darán algunas buenas indicaciones visuales siempre nuestro Arduino está recibiendo o transmitiendo datos (como cuando nos estamos cargando un nuevo programa en el tablero).
Microcontrolador (13)
Lo negro con todas las patas de metal es un circuito integrado (IC, por sus siglas en Ingles). Piense en ello como el cerebro de nuestro Arduino. La principal IC en el Arduino es ligeramente diferente del tipo de placa a placa tipo, pero es por lo general de la línea de ATmega de CI de la empresa ATMEL. Esto puede ser importante, ya que puede necesitar para saber el tipo de IC (junto con su tipo de tarjeta) antes de cargar un nuevo programa desde el software de Arduino. Esta información se puede encontrar en la escritura en la parte superior de la IC. Si quieres saber más acerca de la diferencia entre diversos circuitos integrados, la lectura de las hojas de datos suele ser una buena idea.
Regulador de Voltaje (14)
Esto no es realmente algo que se puede (o debe) interactuar con el Arduino. Pero es potencialmente útil para saber que está ahí y para qué sirve. El regulador de voltaje hace exactamente lo que dice - que controla la cantidad de tensión que se deja en la placa Arduino. Piense en ello como una especie de guardián; se dará la espalda a una tensión adicional que podría dañar el circuito. Por supuesto, tiene sus límites, por lo que no conecta tu Arduino a nada superior a 20 voltios.

QUE ES UNA ENTRADA LOGICA
Corresponde a una señal del tipo 0-1 refiriendose a 0 como cero Volts y 1 como 10, 15, 24 Volts dependiendo de la merca del variador de frecuencia, este tipo de señales se utilizan generalmente para poner en marcha, parar, invertir el sentido de giro entre otras

QUE ES UNA ENTRADA ANALOGICA

Correponde a una entrada variable entre -10 Volt a 10 Volt, a 0-10 Volt, a 0-20 mA, o a 4-20mA
Las dos primeras corresponden a entradas de tension y las otras a entradas de corriente.
En los variadores puedes tener 1 o 2 entradas de este tipo que pueden utilizarse tanto de corriente como de tension, seleccionandolas desde la programacion o con bornes. Estas señales se utilizan para dar una referencia de velocidad y la realimentacion de la variable que se desea controlar.

CUANTOS PINES TIENE UN ARDUINO?


Entradas y salidas digitales: Están situadas en la parte de arriba de la placa, van del 0 hasta el 13, este ultimo pin lleva una resistencia interna incluida. La señal digital puede estar o encendida o apagada (LOW o HIGH). Los pines cero y uno se pueden utilizar para cargar el programa en la placa. Por ejemplo, se utilizan para parpadear un LED o; como entrada, un pulsador.

Salidas analógicas: Son los pines 11, 10, 9, 6, 5 y 3, si os fijáis tienen una raya curva al lado, se denominan salidas PWM (Pulse Width Modulation) que ralmente son salidas digitales que imitan salidas analógicas, modificando la separación entre los diferentes pulsos de la señal. La señal PWM puede dar diversos valores hasta 255, se utilizan, por ejemplo para variar la intensidad de un LED o hacer funcionar un servo. Hay que decir que estos pines funcionan como salidas o entradas digitales o como salidas analógicas.
Entradas analógicas: Son los pines A0, A1, A2, A3, A4 y A5 (analog in). Se utilizan para que entre una señal de un sensor analógico, tipo un potenciómetro o un sensor de temperatura, que dan un valor variable. También se pueden utilizar como pines digitales.
Pines de alimentación: 
  • GND: Son los pines a tierra de la placa, el negativo.
  • 5v: Por este pin suministra 5v
  • 3,3v: Por este pin suministra 3,3v
  • Vin: Voltaje de entrada, por este pin también se puede alimentar la placa.
  • RESET: Por este pin se puede reiniciar la placa
  • IOREF: Sirve para que la placa reconozca el tipo de alimentación que requieren los shields
También podemos encontrar el pin AREF, arriba de todo a la izquierda de los pines digitales, este pin sirve para suministrar un voltaje diferente a 5v por los pines digitales.
También están el conector USB, para cargar el programa y alimentar la placa; y el conector de alimentación, para alimentarla.

QUE ES UN ARDUINO Y PARA QUE SIRVE

Arduino, inicialmente, fue construido en base al proyecto Wiring, del colombiano Hernando Barragán.
En el año 2003, en Italia, específicamente en el instituto Ivrea, Massimo Banzi enseñaba el uso de PICs a estudiantes de diseño interactivo, los cuales no tenían conocimiento técnico para utilizar herramientas de bajo.
Anterior al nacimiento de Arduino existía el proyecto Processing, un lenguaje de programación basado en Java. Las principales características de Processing es la facilidad con la que puede ser utilizado. Barragán, que era estudiante en aquel entonces, se basó en Processing para desarrollar una placa llamada electrónica llamada Wiring. Esta contaba con su propio lenguaje de programación y su propio entorno de desarrollo (IDE).
Poco tiempo después, Massimo Banzi, David Cuartielles y Gianluca Martino desarrollaron una tarjeta basada en el trabajo de Hernando Barragán, la cual era más pequeña y económica que la placa Wiring. Esta placa fue nombrada Arduino.
Desde entonces el proyecto Arduino le ha dado la vuelta al mundo con un gran éxito tanto entre los expertos como los aficionados a la electrónica. Su crecimiento ha sido tal que actualmente existen múltiples modelos en el mercado, con un sin fin de shields diseñados para aumentar sus capacidades y/o brindarle nuevas funcionalidades.

PARA QUE SIRVE
Mucho se ha escrito sobre Arduino. De hecho tenemos una sección especial con todos los contenidos publicados sobre este tema donde nuestros lectores pueden nutrirse de nuestros conocimientos y construir sus propios proyectos. Los invito a que visiten la sección de Arduino y la de Arduino+Java, donde se muestra el verdadero poder del Arduino una vez se combina con un lenguaje de alto nivel como lo es Java y la electrónica apropiada


mi proyecto

https://electronicavm.wordpress.com/2011/07/07/sensor-de-aparcamiento-con-arduino/

martes, 14 de febrero de 2017

wind patterns



concept
winds are produced by the circulation of air and are an important part of the weather the patterns of weather within an area characterised by pressure differences lead to daily and seasonal differences in wind direction and strength


context
to record the direction of the wind, asimple comass is requerired. a fun way o feel the wind and invstigate wind resistance is to make and use kites andparachutes


EQUIPAMENT
compass:small transparent round plastic pot with lid (the lid does not need to be transparent ) -card-glue-scissors-waterpool-half of a botlle cork (or small piece of polystyrene)-sewing needle-small magnet-ruler-protractor-water-washing detergent

MARKING IT
1. for the compass cut a small circle of card tofit into the lid of the pot. draw on lines at 90 grades, 180 grades, 270 grades and 360 grades and mark with E, W, and N . stick this into the lid and then place the pot on top. you should now be able to read the positions through the base of the transparent pot.

2.cut a silt across the cork or polystyrene magnetise the needle by stroking it with the magnet in one direction carefully push the needle into the slit.

3.put some weather into the pot and add a drop of detergent to stop the cork of polystyrene drifting over and sticking to the edges of the pot. float the cork or polystyrene on the water

4.A kite can be made from a 50cm square of thin polystyrene sheet such as a ceiling tile first find the center and make it then mark a spot 12cm above he centre as shown in the diagram make holes at both of these points thead sting though each hoe and fasten the end to two buttons fix a line to the thread ( if you wish you can fix paper streamers to the base of the kite )

5.parachutes can be made using squares of thin plastic to make a canopy. tie a thread to each corner, then tread each piece in turn through the centre of a cotton reel andhe lid with the direction signs  tie off the ends.

USING IT
to use the compass place the pot on a level surface when the needle is still carefully turn the lid with th e direction signs until the needle matches the north/south line seen through the base.
you cna fly kites and experiment with different length of tails.it can be a fun way of working out which direction the wind is coming from and going to.

parachutes: work as air collected in the canopy pushes againts it. you can experiment with  different  loads and canopy sizes to see how this affects the rate which the parachute falls.
 .

miércoles, 2 de noviembre de 2016

Ordenada: Es el valor que corresponde a la segunda componente a una pareja ordenada

Abscisa: Es el valor que corresponde a la primera componente de una pareja ordenada , las abscisas se ubican en el eje x y las ordenadas en el eje y


circunsferencias concentidas : son dos o mas que tienen el mismo el mismo centro


Pemdiente de una recta: se refiere al grado de inclinacion de una recta con respecto al eje x. se representa con la letra m=y se obtiene con el cociente entre la diferencia de abscisas


m= y2-y1/x2-x1

ecuacion de una recta

si centro (0,0) = y = mx + b donde b es el intercepto con y


si centro diferente y-y= m (x-x1)


EJ:


Calcula la ecuacion de la circunferencia que tiene su centro en el punto de interseccion de las rectas

interseccion [ x + 3y +3 = 0]
                    [x + y + 1 = 0]


reduccion o eliminacion

                                                   y=2/2=y=1
x + 3y = -3
-x -  y  =  1
/    2y = -2




centro de circunferencia (0,-1) 1=8

(x-0)2 + cy-(-1)2)=8*8

x2+(y+1)2 =64
x2+y2+2*y*1+1*1=64
x2+y2+2y+1=64
x2+y2+2y-63=0





Ecuacion estandar o canonica de la parabola


se denomina parabola al lugar geometrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta dada llamada directriz y de un punto interior a ella llamado foco

la ecuacion de una parabola con vertice en (0,0) su eje coincide con el eje de las ordenadas es x2=4py donde el foco en (0,p) la ecuacion de la directriz de la parabola es y=p si p >0(positivo) la parabola es hacia la derecha y si p<0(negativo) se abre hacia la izquierda

la ecuacion de una parabola con vertice (0,0) su eje coincide con el eje de las abscisas es y2 = 4py donde el foco es el punto (p,0) la ecuacion de la directriz es x=-p si p>0(positivo)


Ecuación de la parábola en su forma general

En todos los casos, la estructura de la ecuación de la parábola tiene las siguientes características:
Existe solamente una variable al cuadrado (x o bien y y otra lineal.
El coeficiente de la variable lineal (4p) (el coeficiente es el 4) representa la proporción del lado recto con respecto de la distancia focal (debemos recordar que la distancia focal es la distancia entre el foco y el vértice).
Pero además de lo anterior, desde el punto de vista de las estructuras algebraicas, la ecuación de la parábola es una ecuación de segundo grado , que puede expresarse en la forma general de ecuaciones de este tipo.

Obtención de la ecuación general de la parábola

Para llegar a dicha expresión o forma general, es necesario desarrollar  algebraicamente la forma ordinaria o canónica de la ecuación.
Tomando como ejemplo la forma:

(x – h) = 4p(y – k)

Desarrollando resulta:

– 2hx + h = 4py – 4pk

– 2hx + h – 4py + 4pk = 0

Multiplicando la ecuación por un coeficiente “A” con la intención de generalizar, y considerando A ≠ 0 , tendremos:

Ax – 2Ahx + Ah – 4Apy + 4Apk = 0

Reordenando:

Ax – 4Apy – 2Ahx – Ah + 4Apk = 0

Ax – 4Apy – 2Ahx + A(h + 4pk) = 0

Haciendo que los coeficientes de las variables sean:

–4Ap = B

–2Ah = C

A(h + 4pk) = D

Sustituyendo los coeficientes B, C y D en la ecuación, nos queda

Ax + Bx + Cy + D = 0

que es la ecuación de una parábola horizontal en su forma general.
Análogamente, para una parábola de orientación vertical, la ecuación en su forma general será:

Ay + Bx + Cy + D = 0

Ejemplo I

Una parábola tiene vértice en el punto (–4, 2) , y su directriz es y = 5 , encuentre su ecuación y exprésela en la forma general.
Desarrollo
Analizando las coordenadas del vértice y la posición de la directriz, se puede concluir que:
a) La directriz es paralela al eje de las abscisas, por lo tanto la posición de la parábola es vertical.
b) La directriz corta al eje de las ordenadas en un valor (5) mayor que la ordenada del vértice (2), por lo tanto la parábola se  abre hacia abajo (sentido negativo del eje de las Y).
c) Las coordenadas del vértice no corresponden con las del origen.
d) Dado lo anterior, se trata entonces de una parábola cuya ecuación ordinaria o canónica es del tipo:

(x – h) = –4p (y – k)

De las coordenadas del vértice se obtiene:

h = –4

k = 2

Se obtiene por diferencia entre las ordenadas del vértice y de la directriz, resultando:

p = 5 – 2

p = 3

Sustituyendo valores en la ecuación ordinaria, resulta:

(x – h) = –4p(y – k)

(x – (–4)) = –4 (3) (y – (+2))

(x + 4) = –12(y – 2)

(x + 4) = –12y + 24

Desarrollando el binomio al cuadrado

(x + 4) (x + 4) = x + 8x + 16

+ 8x + 16 = +12y – 24

Simplificando e igualando a cero la ecuación se tiene:

+ 8x + 16 + 12y – 24 = 0

+ 8x + 12y – 8 = 0

Que es la ecuación buscada.

Calcular los parámetros de la parábola  si nos dan su ecuación general.

Reducción de la ecuación de una parábola
Dada una ecuación del tipo

Ax + Bx + Cy + D = 0

o del tipo

Ay + Bx + Cy + D = 0,

siempre es posible reducir la ecuación de una parábola . Para ello se completa un cuadrado y se manipula adecuadamente el otro miembro.

Ver: Cuadro resumen

Ejemplo  II

Dada la ecuación de la parábola

+ 8y – 6x + 4 = 0,

encuentre las coordenadas del vértice y del foco, así como la ecuación de su directriz.
Una forma de obtener los elementos solicitados consiste en reducir la ecuación general anterior llevándola a la forma ordinaria o canónica.
Como primer paso, se separan a diferentes miembros la variable al cuadrado (y y la variable lineal (6x) junto con el término independiente (–4)

+ 8y = 6x – 4

Con la intención de factorizar se procede a la adición (en ambos miembros de la ecuación) de un término adecuado para que se complete el trinomio cuadrado perfecto :
En este caso ese número es 16, que se obtiene dividiendo a la mitad el valor numérico  del factor lineal (el 8 de 8y) y el resultado elevado al cuadrado:
8/2 = 4 = 16 (8 dividido 2 es igual a 4 y 4 al cuadrado es 16)
Y 16 lo sumamos a ambos lados de la ecuación:

+ 8y + 16 = 6x – 4 + 16

Simplificando:

+ 8y + 16 = 6x + 12

Factorizando resulta:
El trinomio cuadrado y + 8y + 16 que se convierte en cuadrado de binomio  (y + 4) 2

+ 8y + 16  =  (y + 4) 2

Y el segundo miembro queda

6x + 12 = 6(x + 2)

Entonces, la ecuación queda así:

(y + 4) = 6(x + 2)

Que es la ecuación ordinaria de una parábola con vértice fuera del origen, horizontal, y que se abre hacia la derecha, en el sentido positivo del eje de las abscisas, según lo visto anteriormente.

(y – k) = 4p(x – h)

Con lo cual se puede determinar que:

k = – 4

h = – 2

Por lo tanto, el vértice tiene las coordenadas V (–2, –4)
Además:
Si 4p = 6
Entonces
p = 6/4  = 3/2
Considerando la orientación ya señalada de la parábola y el valor de , es posible determinar la posición del foco, ya que éste estará alineado a la derecha del vértice a una distancia desde , y con la misma ordenada , resultando:

F(h + p, k)

F(–2 + 3/2,  –4)

F(–1/2, –4)

La ecuación de la directriz se obtiene de x – h + p = 0
Resultando:

x – (– 2) + (3/2) = 0

x + 4/2 + 3/2 = 0

x + 7/2 = 0

x = –7/2

Ejemplo III

Veamos otro ejemplo, tenemos la ecuación desarrollada
xxx
Siempre que una variable esta elevada al cuadrado se trata de una parábola.

Para determinar si corresponde a una parábola, debe semejarse a:

(x – h) = 4p(y – k)


que es la ecuación de una parábola de eje vertical, abierta hacia arriba .
Para llevar la ecuación desarrollada a la forma (x – h) = 4 p (y – k) usaremos el método de completar el trinomio, para llevarlo a cuadrado perfecto:

3x – 4x – 6y + 8 = 0

Empezamos separando las variables en cada miembro :
Pasar los términos sin "x" al lado derecho de la ecuación

3x – 4x = 6y – 8

dividir toda la ecuación por el coeficiente de la variable cuadrática, en este caso es 3, para quedar

– 4/3 x = 2y – 8/3

Obtener la mitad de 4/3

(4/3) / 2 = 2/3

Y elevarla al cuadrado

(2/3) = 4/9

Sumar 4/9 en ambos lados de la ecuación (de la parábola)

– 4/3 x + 4/9 = 2y – 8/3 + 4/9

Factorizar y simplificar

(x – 2/3) = 2y – 20/9

Factorizar por 2 en el lado derecho

(x – 2/3) = 2 (y – 10/9)

Entonces

h = 2/3

k = 10/9

4p = 2    ------>  p = 2/4  =  1/2



TEMA 
LA ELIPSE.
'Elipse'
Definición: Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos.
Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse. La definición excluye el caso en que el punto móvil esté sobre el segmento que une los focos.
Designemos por F y F´ (fig. 1) los focos de una elipse. La recta l que pasa por los focos tiene varios nombres; veremos que es conveniente introducir el término de eje focal para designar esta recta. El eje focal corta a la elipse en dos puntos, v y v´, llamados vértices
La porción del eje focal comprendida entre los vértices, el segmento vv´ , se llama eje mayor. El punto C del eje focal, punto medio del segmento que une los focos, se llama centro. La recta l´ que pasa por C y es perpendicular al eje focal l tiene varios nombres; encontraremos conveniente introducir el término eje normal para designarla. El eje normal l´ corta a la elipse en dos puntos, A y A´ , y el segmento AA´ se llama eje menor. Un segmento tal como BB´ que une dos puntos diferentes cualesquiera de la elipse, se llama cuerda. En particular, una cuerda que pasa por uno de los focos, tal como EE´, se llama cuerda focal. Una cuerda focal, tal como LL´ perpendicular al eje focal l se llama lado recto. Evidentemente como la elipse tiene dos focos, tiene también dos lados rectos. Una cuerda que pasa por C, tal como DD´, se llama diámetro. Si P es un punto cualquiera de la elipse, los segmentos FP y F´P que unen los focos con el punto P se llaman radios vectores.
Ecuación de la Elipse de centro el origen y ejes de coordenadas los ejes de la Elipse.
Consideremos la elipse de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje (fig. 2). Los focos F y F´ están sobre el eje X. Como el centro es el punto medio del segmento FF´ las coordenadas de F y  serán, por ejemplo, (c,0) y (-c,0), respectivamente, siendo c una constante positiva. Sea P(x,y) un punto cualquiera de la elipse. Por la definición de la curva, el punto P debe satisfacer la condición geométrica
'Elipse'
(1)
En donde a es una constante positiva y mayor que c.
Por el teorema de la distancia d entre dos puntos, tenemos
'Elipse'
='Elipse'
'Elipse'
='Elipse'
, de manera que la condición geométrica (1) está expresada analíticamente por la ecuación
'Elipse'
'Elipse'
= 2a (2).
Para simplificar la ecuación (2), pasamos el segundo radical al segundo miembro, elevamos al cuadrado, simplificamos y agrupamos los términos semejantes. Esto nos da
cx+a2 = a
Elevando al cuadrado nuevamente obtenemos
'Elipse'
de donde,
'Elipse'
(3)
Como 2a >2c es a2>c2 y 'Elipse'
-c2 es un número positivo que puede ser reemplazado por el número positivo b2, es decir,
b2='Elipse'
- c2 (4)
Si en (3) reemplazamos 'Elipse'
- c2 por b2 obtenemos,
b2x2+a2y2= a2b2
y dividimos por a2b2 , se obtiene, finalmente,
(5)
Ahora discutiremos la ecuación (5). Por ser a y -a las intercepciones con el eje X, las coordenadas de los vértices V y V´ son (a, 0) y (-a, 0) respectivamente, y la longitud del eje mayor es igual a 2a, la constante que se menciona en la definición de la elipse. Las intercepciones con el eje Y son b y - b por tanto, las coordenadas de los extremos A y A´ del eje menor son (0, b) y (0, - b) respectivamente la longitud del eje menor es igual a 2b.
Por la ecuación (5) vemos que la elipse es simétrica con respecto a ambos ejes coordenados y al origen.
Si de la ecuación (5) despejamos y, obtenemos
(7)
Luego, se obtienen valores reales de y solamente para valores de x del intervalo
(8)
Si de la ecuación (5) despejamos x, obtenemos ,
De manera que se obtienen valores reales de solamente para valores de y dentro del intervalo 'Elipse'
(9).
De (8) y (9) se deduce que la elipse está limitada por el rectángulo cuyos lados son las rectas 'Elipse'
'Elipse'
. Por tanto la elipse es una curva cerrada.
La abscisa del foco F es c (figura 2). Si en (7) sustituimos por este valor se obtiene las ordenadas correspondientes que son
'Elipse'
de donde por (4) resulta 'Elipse'
'Elipse'
Por tanto la longitud del lado recto para el foco 'Elipse', y de forma análoga la longitud del lado recto para el foco F´ es 'Elipse'
.
Un elemento importante de una elipse es su excentricidad que se define como la razón 'Elipse'
y se representa por la letra , de (4) tenemos que 'Elipse'
(10).
Y como c<a, la excentricidad de una elipse es menor que la unidad.
Hasta aquí hemos considerado el caso en que el centro de la elipse es el origen y su eje focal coincide con el eje X. Si consideramos el caso en que el centro de la elipse es el origen, pero su eje focal coincide con el eje Y, las coordenadas de los focos son entonces F(0,c) y F´(0,-c). Luego por el mismo procedimiento empleado para deducir la ecuación (5) hallamos que la ecuación de la elipse es
'Elipse'
(11)
Veamos la siguiente que resume los resultados obtenidos hasta este momento.
'Elipse'
Además podemos resumir todos estos resultados en el siguiente
TEOREMA1.
La ecuación de una elipse de centro en el origen, eje focal el eje X, distancia focal igual a 2c y cantidad constante igual a 2a es
'Elipse'
Si el eje focal de la elipse coincide con el eje Y, de manera que las coordenadas de los focos sean F (0,c) y F´(0,-c) la ecuación de la elipse es
'Elipse'
Para cada elipse, 2a es la longitud del eje mayor, 2b la del eje menor y a, b, c están ligados por la relación a2= b2+c2.
También, para cada elipse, la longitud de cada lado recto es 'Elipse'
, y la excentricidad e está dada por la fórmula e'Elipse''Elipse'
NOTA: Si reducimos la ecuación de una elipse a su forma canónica, podemos determinar fácilmente su posición relativa a los ejes coordenados comparando los denominadores de los términos x2 y y2. El denominador mayor está asociado a la variable correspondiente al eje coordenado con el cual coincide el eje mayor de la elipse.
Veamos algunos ejemplos.
1. Encuentre los vértices y los focos para la elipse 9x2+4y2=36 y trazar su gráfica.
Solución
Debemos proceder de la siguiente forma:
Dividir toda la ecuación por 36
'Elipse'
Lo que resulta, 'Elipse'
que tiene la forma 'Elipse'
Donde el eje mayor es el eje vertical.
Donde b2=4 o bien b=2 y a2=9 o bien a=3.
De esta forma obtenemos los vértices que son V(0,3) y V´(0,-3)
Puesto que c2= b2- a2 entonces c='Elipse'
Luego los focos están en el eje Y y sus coordenadas son F (0, 'Elipse'
) y F´(0,- 'Elipse'
) y la gráfica correspondiente es la
2. Encuentre la ecuación de una elipse con vértices V(5,0) y V(-5,0) y focos F(2,0) y F´(-2,0). Trace la gráfica.
Solución
Al ubicar las coordenadas de los vértices y de los focos vemos que estos están en el eje de las por tanto el eje mayor es el eje que también podemos decir que es el eje focal.
De donde tenemos que a=5 y c=2 y luego b2=25-4=21 y así b=
Por tanto la ecuación de la elipse tiene la forma
'Elipse'
Sustituyendo los valores de a y b tenemos que la ecuación que estamos buscando es
'Elipse'
Y la gráfica es
Ecuación de la elipse de centro (h,k) y ejes paralelos a los ejes coordenados
Consideremos, la elipse cuyo centro está en el punto (h,k) y cuyo eje focal es paralelo al eje X tal como se indica en la figura 3
Sean 2a y 2b las longitudes de los ejes mayor y menor respectivamente. Si los ejes coordenados son trasladados d3e manera que el nuevo origen O´ coincida con el centro (h,k) de la elipse, del teorema 1 tenemos que la ecuación de la elipse con referencia a los nuevos ejes X´ y Y´ está dada por
'Elipse'
(a).
De la ecuación (a) puede deducirse la ecuación de la elipse referida a los eje originales X y Y usando las ecuaciones de transformación
Traslación de coordenadas
Si se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen O´(h,k), y si las coordenadas de cualquier punto P antes y después de la traslación son (x,y) y (x´,y´), respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema primitivo al nuevo sistema de coordenadas son x=x´+h y y=y´+k.
De donde x´=x-h y y´=y-k.
Si sustituimos los valores de x´ y y´ en la ecuación (a) obtenemos
'Elipse'
(b)
Que es la ecuación de la elipse referida a los eje originales X y Y.
De forma similar, podemos demostrar que la elipse cuyo centro es el punto C(h,k) y cuyo eje focal es paralelo al eje Y tiene por ecuación
(c)
Las ecuaciones (b) y (c) se llaman la segunda ecuación ordinaria de la elipse.
Estos resultados junto con el teorema 1 nos conducen al siguiente:
Teorema:
La ecuación de la elipse de centro el punto C(h,k) y eje focal paralelo al eje X está dada por la segunda forma ordinaria,
Si el eje focal es paralelo al eje Y su ecuación está determinada por la segunda forma ordinaria
Para cada elipse, 2a es la longitud del eje mayor, 2b es la del eje menor, c es la distancia del centro a cada foco y a, b, c están ligados por la relación a2=b2+c2.
También para cada elipse, la longitud de cada uno de sus lados rectos es y la excentricidad está dada por la relación
e
Ejemplo
Los vértices de una elipse tienen por coordenadas V(-3,7) y V´(-3,-1), y la longitud de cada lado recto es 2. Hallar la ecuación de la elipse, las longitudes de sus ejes menor y mayor, las coordenadas de sus focos y su excentricidad.
Solución:
Como los vértices V y V´ están sobre el eje focal y sus abscisas son ambas (-3) (ver figura 4) se sigue que el eje focal es paralelo al eje Y. Por tanto, por teorema 2, la ecuación de la elipse es de la forma
'Elipse'
El centro C es el punto medio del eje mayor VV´ y sus coordenadas son por lo tanto
C(-3,3). C=Pm'Elipse'
La longitud del eje mayor VV´ es 8
'Elipse'
Por tanto, 2a=8 de donde a=4.
La longitud de cada lado recto es 'Elipse'
=2 
como a=4 se sigue que 2b2=8 , luego b2=4 por tanto b=2.
Y la longitud del eje menor es 4.
Luego la ecuación de la elipse es
'Elipse'
También, c2=a2-b2=16-a=12, de donde c='Elipse'
por tanto las coordenadas de los focos son F(-3, 3+'Elipse'
) y
F´(-3, 3-'Elipse'
)
Y la excentricidad e 'Elipse'
Propiedades de la elipse.


  • La tangente a la elipse b2x2+a2y2=a2b2 en cualquier punto P1(x1,y1) de la curva tiene por ecuación b2x1x+a2y1y=a2b2
  • Las ecuaciones de las tangentes de pendiente m a la elipse b2x2+a2y2=a2b2 son y.



  • La normal a una elipse en uno cualquiera de sus puntos es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto.

  • Consideremos ahora la ecuación de la elipse en la forma
    'Elipse'
    (2)
    Si quitamos denominadores, desarrollamos, trasponemos y ordenamos términos obtenemos
    'Elipse'
    (4).
    La cual puede escribirse en la forma Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 (5)
    En donde A=b2, C=a2, D=-2b2h, E=-2a2k y F='Elipse'
    . Evidentemente, los coeficientes A y C deben ser del mismo signo.
    Recíprocamente, consideremos una ecuación de la forma (5) y reduzcámosla a la forma ordinaria (2) completando cuadrados. Obtenemos
    'Elipse'
    (6)
    Sea M'Elipse'
    . Si M"0, la ecuación (6) puede escribirse en la forma
    (7)
    Que es la ecuación ordinaria de la elipse. Como A y B deben concordar en signo, podemos suponer, sin perder generalidad, que son ambos positivos. Por lo tanto, si (5) representa una elipse, la ecuación (7) demuestra que M debe ser positivo. El denominador 'Elipse'
    de M es positivo; por tanto el signo de M depende del signo del numerador 'Elipse'
    , al que designaremos por N. De acuerdo con esto, comparando las ecuaciones (6) y (7), vemos que si N>0, (5) representa una elipse; de (6), si N=0, (5) representa el punto único , llamado usualmente una elipse punto, y si N<0, la ecuación (6) muestra que (5) no representa ningún lugar geométrico real.
    Una discusión semejante se aplica a la otra forma de la segunda ecuación ordinaria de la elipse. Luego tenemos el siguiente:
    Teorema3
    Si los coeficientes A y C son del mismo signo, la ecuación Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 representa una elipse de ejes paralelos a los coordenados, o bien un punto, o no representa ningún lugar geométrico real.
    Ejemplo
    Hallar los elementos de la elipse 25x2+16y2-50x+64y-311=0
    Solución: Empezamos reduciendo la ecuación dada a la segunda forma ordinaria de la ecuación de la elipse, esto es:
    'Elipse'
    Como el denominador de la segunda fracción es mayor que el de la primera, entonces el eje mayor de la elipse es vertical o bien paralelo al eje Y de donde a2=25 y b2=16, luego a=5 y b=4.
    Además c2=25-16=9, de donde c=3.
    Por tanto:
    Vértices: B(5, -2); B´(-3,-2); V(1, 3); V´(1, -7).
    Focos: F(1,1); F´(1, -5).
    Luego su gráfica es
    Ejercicios propuestos


  • Encuentre los vértices y los focos para la elipse 9x2 +3y2=27



  • Encuentre una ecuación de la elipse con focos (0,±'Elipse'
    ) tal que la longitud del eje mayor es 12.

  • 3) Encuentre los focos y los vértices de la elipse
    4x2+16y2-96y+84=0
    4) Encuentre una ecuación de la elipse con centro (2,-1) de eje
    Mayor Vertical de longitud 6 y eje menor de longitud 3
    5) Encuentre el centro, los focos y los vértices para la elipse
    x2+
    6) Encuentre la ecuación de la elipse con vértices V (5, 0) y
    V´(-5, 0) y focos F(3, 0) y F´(-3, 0)
    7) Encuentre la ecuación de la elipse con F(0,3); F´(0,-3) y que
    pasa por el punto
    8) Encuentre la ecuación de la elipse con centro C(1, 3), un foco
    F (1,9) y un vértice V(1, -1)
    Respuestas


  • V(0, 3); V´(0, -3); B(; B´(-; F(0, ; F´(0,- ;
  • La expresión es la ecuación en la segunda forma ordinaria, de donde fácilmente vemos que los vértices son: V(5, 3); V´(-3, 3); B(1, 5); B´(1, 1); y los focos son F(1+ y F´(1-2 'Elipse'
    , 3).
  • o bien
  • C(0, 0); F(0, ; F´(0, - 'Elipse'
    ; V(0, 4); V´(0, -4); B(1, 0);

  • B´(-1, 0)


  • 'Elipse'